Irisan Kerucut

nah buat yang kurikulum 2013, saya akan berbagi ilmu mengenai irisan kerucut yang akan di pelajari di kelas XI MIA. silahkan di simak

Irisan Kerucut dalam matematika merupakan lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi, dimana kurva tersebut terbentuk dari irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Terdapat 4 macam irisan kerucut, yaitu lingkaran, parabola, elips serta hiperbola.

DEFINISI

Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

• Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
• Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Luas lingkaran = π.r² (r = jari-jari)
Contoh gambar:
Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

Parabola
Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:
Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1


Elips
(1) Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

• Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
• Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
• Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
• Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)
Contoh gambar:
Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola
(1) Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Contoh gambar:
Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x

PERSAMAAN

Perhatikan beberapa Tips berikut ini :
Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

• Pada persamaan Lingkaran: koefisien x² dan y² sama
• Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x² saja atau y² saja)
• Pada persamaan Elips: koefisien x² dan y² bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif)
• Pada persamaan Hiperbola: koefisien x² dan y² berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)

Contoh:

• 3x² + 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
• 3x² + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
• 3x² + y² + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
• 3x² – 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP IRISAN KERUCUT

Dalam mencari kedudukan titik terhadap irisan kerucut dapat menggunakan cara sebagai berikut :

1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:

→    Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut
→    Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut
→    Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut
Contoh:
Tentukanlah kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x² + y² + 6x + y = 5?
Penyelesaian :
3x² + y² + 6x + y – 5 = 0
Ruas kiri: 3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5  = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100
→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP IRISAN KERUCUT

Dalam mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut dapat digunakan cara berikut ini.

1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b² – 4.a.c)

→    Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut
→    Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik
→    Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik
Contoh:
Tentukanlah  kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x² + 3y + 6x = 5
Penyelesaian :
Garis: x = 4 – 2y
3(4 – 2y)² + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0
3(16 – 16y + 4y²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48y + 12y² + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
12y² – 57y + 67 = 0
D = b² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33
Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

dalam hal ini m merupakan gradien.
Persamaan garis singgung pada titik (x₁, y₁)
Dalam menyelesaikan persamaan garis singgung ini selalu gunakanlah  sistem bagi adil, dimana
(…)² menjadi (…).(…)
(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)
Pada salah satu (…) titik ke persamaan hasil bagi adil akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui

1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar

Kemudian potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong
Selanjutnya masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut :
Contoh 1:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (2, 1)?
Jawab :
(2, 1) terletak pada lingkaran (2² + 1² + 4.2 = 13)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (2, 1) sebagai x₁ dan y₁:
2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9
4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung

Contoh 2:
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (4, 1)?
Jawab :
(4, 1) terletak di luar lingkaran (4² + 1² + 4.4 = 33 > 16)
Persamaan bagi adil:
x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9
Masukkan (4, 1) sebagai x₁ dan y₁:
4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9
6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar
y = 1 – 6x
Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:
x² + (1 – 6x)² + 4x – 13 = 0
x² + 1 – 12x + 36x² + 4x – 13 = 0
37x² – 8x – 12 = 0
Selanjutnya gunakan rumus abc untuk mencari akar-akarnya:

Masukkan (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) ke dalam persamaan hasil bagi adil

Satelit Geostasioner

Satelit geostasioner

Satelit geostasioner yang terletak tepat di atas khatulistiwa bumi dan berputar mengelilingi bumi dalam orbit lingkaran. Ini kecepatan bergulir dan arah (barat ke timur) adalah persis sama dengan bumi, yang membuatnya tampak diam dari permukaan bumi. Ketinggian yang tepat dari satelit di atas katulistiwa adalah sekitar 36.000 kilometer (22.369 Miles). Ungkapan geostasioner berkembang dari fakta bahwa jenis satelit terlihat praktis diam di langit seperti yang diamati oleh orang di permukaan bumi. Jalur orbit satelit geostasioner disebut Sabuk Clarke, untuk menghormati Arthur C. Clarke.

Sebuah satelit geostasioner dapat dihubungi melalui antena directional, antena biasanya dish kecil, ditargetkan pada lokasi di langit di mana satelit tampak mengapung. Dish Antena ini secara permanen dapat diletakkan di satu tempat dan murah dibandingkan dengan pelacakan antena. Satu satelit geostasioner dapat mencakup sekitar 40 persen dari luas permukaan bumi. Tiga satelit geostasioner tersebut, masing-masing dipisahkan oleh 120 derajat bujur, dapat menawarkan cakupan luas permukaan bumi lengkap, dengan penghilangan daerah lingkaran kecil terletak di utara dan selatan kutub geografis. Masa operasinya dari satelit geostasioner adalah sepuluh sampai lima belas tahun.

Keuntungan / Kerugian dari Satelit geostasioner

Satelit ini ditempatkan pada ketinggian tinggi memungkinkan mereka untuk memeriksa luas permukaan seluruh bumi itu kecuali untuk wilayah kecil di selatan dan utara kutub geografis, yang secara signifikan membantu dalam studi meteorologi. Penggunaan dish antena directional dapat mengurangi intervensi sinyal dari bumi berbasis sumber dan dari satelit lain juga

Sektor orbital adalah loop benar-benar tipis pada bidang ekuator, maka jumlah yang sangat kecil dari satelit dapat dipertahankan dalam sektor ini tanpa konflik dan saling tabrakan. Lokasi melayang tepat dari satelit geostasioner berfluktuasi sedikit di atas setiap loop periode 24 jam. Fluktuasi ini terjadi akibat adanya gangguan gravitasi antara satelit, bumi, matahari, bulan, dan planet lain. Sinyal radio mengambil kira-kira 1/4th per detik untuk perjalanan dua arah ke satelit, sehingga sinyal kecil tapi besar. Tapi tunggu, hal ini menimbulkan masalah komunikasi interaktif seperti percakapan telepon.

Aplikasi Satelit geostasioner

Satelit geostasioner telah dimodernisasi dan transformasi komunikasi di seluruh dunia, penyiaran televisi, meteorologi dan peramalan cuaca.  Ini juga digunakan sebagai system pertahanan dan aplikasi intelijen.

TANAH LIAT DAN MACAM" KERAJINAN DARI TANAH LIAT

TANAH LIAT

Tanah liat dihasilkan oleh alam, yang berasal dari pelapukan kerak bumi yang sebagian besar  tersusun oleh batuan feldspatik, terdiri dari batuan granit dan batuan beku. Kerak bumi terdiri dari unsur unsur seperti silikon, oksigen, dan aluminium. Aktivitas panas bumi membuat pelapukan batuan silika oleh asam karbonat. kemudian membentuk terjadinya tanah liat.

Tanah Liat atau tanah lempung memiliki ciri-ciri sebagai berikut.

Tanahnya sulit menyerap air sehingga tidak cocok untuk dijadikan lahan pertanian.

Tekstur tanahnya cenderung lengket bila dalam keadaan basah dan kuat menyatu antara butiran tanah yang satu dengan lainnya.

Dalam keadaan kering, butiran tanahnya terpecah-pecah secara halus.

Merupakan bahan baku pembuatan tembikar dan kerajinan tangan lainnya yang dalam pembuatannya harus dibakar dengan suhu di atas 10000C.

Jenis jenis tanah liat :

tanah liat di bagi dalam dua jenis, primer dan skunder

1. tanah liat Primer

Yang disebut tanah liat primer (residu) adalah jenis tanah liat yang dihasilkan dari pelapukan batuan feldspatik oleh tenaga endogen yang tidak berpindah dari batuan induk (batuan asalnya), karena tanah liat tidak berpindah tempat sehingga sifatnya lebih murni dibandingkan dengan tanah liat sekunder. Selain tenaga air, tenaga uap panas yang keluar dari dalam bumi mempunyai andil dalam pembentukan tanah liat primer. Karena tidak terbawa arus air dan tidak tercampur dengan bahan organik seperti humus, ranting, atau daun busuk dan sebagainya, maka tanah liat berwarna putih atau putih kusam. Suhu matang berkisar antara 13000C–1400 0C, bahkan ada yang mencapai 17500C. Yang termasuk tanah liat primer antara lain: kaolin, bentonite, feldspatik, kwarsa dan dolomite, biasanya terdapat di tempat-tempat yang lebih tinggi daripada letak tanah sekunder. Pada umumnya batuan keras basalt dan andesit akan memberikan lempung merah sedangkan granit akan memberikan lempung putih. Mineral kwarsa dan alumina dapat digolongkan sebagai jenis tanah liat primer karena merupakan hasil samping pelapukan batuan feldspatik yang menghasilkan tanah liat kaolinit.

Tanah liat primer memiliki ciri-ciri:

warna putih sampai putih kusam

cenderung berbutir kasar,

tidak plastis,

daya lebur tinggi,

daya susut kecil

bersifat tahan api

Dalam keadaan kering, tanah liat primer sangat rapuh sehingga mudah ditumbuk menjadi tepung. Hal ini disebabkan partikelnya yang terbentuk tidak simetris dan bersudut-sudut tidak seperti partikel tanah liat sekunder yang berupa lempengan sejajar.

2. Tanah liat Sekunder

Tanah liat sekunder atau sedimen (endapan) adalah jenis tanah liat hasil pelapukan batuan feldspatik yang berpindah jauh dari batuan induknya karena tenaga eksogen yang menyebabkan butiran-butiran tanah liat lepas dan mengendap pada daerah rendah seperti lembah sungai, tanah rawa, tanah marine, tanah danau. Dalam perjalanan karena air dan angin, tanah liat bercampur dengan bahan-bahan organik maupun anorganik sehingga merubah sifat-sifat kimia maupun fisika tanah liat menjadi partikel-partikel yang menghasilkan tanah liat sekunder yang lebih halus dan lebih plastis. Jumlah tanah liat sekunder lebih lebih banyak dari tanah liat primer. Transportasi air mempunyai pengaruh khusus pada tanah liat, salah satunya ialah gerakan arus air cenderung menggerus mineral tanah liat menjadi partikel-partikel yang semakin mengecil. Pada saat kecepatan arus melambat, partikel yang lebih berat akan mengendap dan meninggalkan partikel yang halus dalam larutan. Pada saat arus tenang, seperti di danau atau di laut, partikel – partikel yang halus akan mengendap di dasarnya. Tanah liat yang dipindahkan bisaanya terbentuk dari beberapa macam jenis tanah liat dan berasal dari beberapa sumber. Dalam setiap sungai, endapan tanah liat dari beberapa situs cenderung bercampur bersama. Kehadiran berbagai oksida logam seperti besi, nikel, titan, mangan dan sebagainya, dari sudut ilmu keramik dianggap sebagai bahan pengotor. Bahan organik seperti humus dan daun busuk juga merupakan bahan pengotor tanah liat.

Karena pembentukannya melalui proses panjang dan bercampur dengan bahan pengotor, maka tanah liat mempunyai sifat: berbutir halus, berwarna krem/abu-abu/coklat/merah jambu/kuning, suhu matang antara 9000C-14000C. Pada umumnya tanah liat sekunder lebih plastis dan mempunyai daya susut yang lebih besar daripada tanah liat primer.

Semakin tinggi suhu bakarnya semakin keras dan semakin kecil porositasnya, sehingga benda keramik menjadi kedap air. Dibanding dengan tanah liat primer, tanah liat sekunder mempunyai ciri tidak murni, warna lebih gelap, berbutir lebih halus dan mempunyai titik lebur yang relatif lebih rendah. Setelah dibakar tanah liat sekunder biasanya berwarna krem, abu-abu muda sampai coklat muda ke tua.

Tanah liat sekunder memiliki ciri-ciri:

Kurang murni.

Cenderung berbutir halus.

Plastis.

Warna krem/abu-abu/coklat/merah jambu/kuning, kuning muda, kuning kecoklatan, kemerahan, kehitaman.

Daya susut tinggi.

Suhu bakar 12000C–13000C, ada yang sampai 14000C (fireclay, stoneware, ballclay).

Suhu bakar rendah 9000C–11800C, ada yang sampai 12000C (earthenware).

Warna tanah tanah alami terjadi karena adanya unsur oksida besi dan unsur organis, yang biasanya akan berwama bakar kuning kecoklatan, coklat, merah, wama karat, atau coklat tua, tergantung dan jumlah oksida besi dan kotoran-kotoran yang terkandung. Biasanya kandungan oksida besi sekitar 2%-5%, dengan adanya unsur tersebut tanah cenderung berwarna Iebih gelap, biasanya matang pada suhu yang lebih rendah, kebalikannya adalah tanah berwama lebih terang atau pun putih akan matang pada suhu yang lebih tinggi.

Menurut titik leburnya, tanah liat sekunder dapat dibagi menjadi lima kelompok besar, yaitu:

1. Tanah Liat Tahan Api (Fireclay).

Kebanyakan tanah liat tahan api berwarna terang (putih) ke abu-abu gelap menuju ke hitam dan ditemukan di alam dalam bentuk bongkahan padat, beberapa diantaranya berkadar alumina tinggi dan berkadar alkali rendah. Titik leburnya mencapai suhu ±  1500 ºC. Yang tergolong tanah liat tahan api ialah tanah liat yang tahan dibakar pada suhu tinggi tanpa mengubah bentuk, misalnya kaolin dan mineral tahan api seperti alumina dan silika. Bahan ini sering digunakan untuk bahan campuran pembuatan massa badan siap pakai, untuk produk stoneware maupun porselin.

Karena beberapa sifatnya yang menguntungkan, antara lain berwarna putih, mempunyai daya lentur dan sebagainya, maka Kaolin juga dipakai sebagai bahan pengisi untuk produk kertas dan kosmetik.

2. Tanah Liat Stoneware.

Tanah liat stoneware ialah tanah liat yang dalam pembakaran gerabah (earthenware) tanpa diserta perubahan bentuk. Titik lebur tanah liat stoneware bisa mencapai suhu 1400 ºC. Bisaanya berwarna abu-abu, plastis, mempunyai sifat tahan api dan ukuran butir tidak terlalu halus. Jumlah deposit di alam tidak sebanyak deposit kaolin atau mineral tahan api. Tanah liat stoneware dapat digunakan sebagai bahan utama pembuatan benda keramik alat rumah tangga tanpa atau  menggunakan campuran bahan lain. Setelah suhu pembakaran mencapai ± 1250 ºC, sifat fisikanya berubah menjadi keras seperti batu, padat, kedap air dan bila diketuk bersuara nyaring.

3. Ballclay.

Disebut juga sebagai tanah liat sendimen. Ball Clay berbutir halus, mempunyai tingkat plastisitas sangat tinggi, daya susutnya besar dan bisaanya berwarna abu-abu. Tanah liat ini mempunyai titik lebur antara 1250 ºC s/d 1350 ºC. Karena sangat plastis, ball clay hanya dapat dipakai sebagai bahan campuran pembuatan massa tanah liat siap pakai.

4. Tanah Liat Earthenware.

Bahan ini sangat banyak terdapat di alam. Tanah liat ini memiliki tingkat plastisitas yang cukup, sehingga mudah dibentuk, warna bakar merah coklat dan titik leburnya sekitar 1100 ºC s/d 1200 ºC. tanah liat merah banyak digunakan di industri genteng dan gerabah kasar dan halus. Warna alaminya tidak merah terang tetapi merah karat, karena kandungan besinya mencapai 8%. Bila diglasir warnanya akan lebih kaya, khususnya dengan menggunakan glasir timbal.

5. Tanah Liat Lainnya. Yang termasuk kelompok ini adalah jenis tanah liat monmorilinit.

contohnya bentonit yang sangat halus dan rekat sekali. Tanah liat ini hanya  digunakan sebagai bahan campuran massa badan kaolinit dalam jumlah yang relatif kecil

Contoh Macam-macam kerajinan yang dapat di buat dari tanah liat

• Piring
• Kendi
• Tempayan         : tempat penyimpanan air dan beras oleh masyarakat
• Anglo                : tungku dengan fungsi seperti kompor yang terbuat dari terakota (tanah liat).
• Kuali
• Celengan
• Pot
• Gerabah